Коротка анотація: У цій статті йдеться про зв'язок між точною керованістю та стабілізацією з довільною швидкістю спаду в нескінченномірних просторах. У кількох випадках поняття є еквівалентними, але є багато ситуацій, коли потрібні додаткові умови, наприклад у просторах Банаха. Це короткий і невичерпний огляд деяких досліджень теорії керування для нескінченновимірних просторів, ініційованих В.І. Коробовим в 70-х роках минулого сторіччя у Харківському державному університеті.
Розширена анотація: У цій роботі ми розглядаємо лінійні системи з керуванням, описані рівнянням $ \dot x = A x +B u $, де функції $ u $ та $ x $ приймають значення $ U $ та $ X $ відповідно. Для такого об’єкта подано короткий огляд результатів, що стосуються зв’язків між точною керованістю та повною стабілізацією (стабілізація з довільною швидкістю спаду). Аналіз проводиться в різних ситуаціях: обмежений чи необмежений стан та оператори керування $ A $ та $ B $, простори Банаха або Гільберта $ U $ та $ X $. Добре відома еквівалентність між повною керованістю та розташуванням полюсів у ситуації скінченновимірних просторів в загальному випадку не має місця в нескінченномірних просторах. Точної керованості недостатньо для повної стабілізації, якщо $ U $ і $ X $ є банаховими просторами. У постановці Гільбертового простору цей результат є справедливим. Зворотньє твердження також не є простим: в деяких ситуаціях повна стабілізація передбачає точну керованість (у просторі Банаха з обмеженими операторами), в інших ситуаціях це не відповідає дійсності. Відповідні результати наведені з деякими ідеями доведення. Технічні деталі можна знайти в цитованій літературі. Наведено кілька прикладів. Особлива увага приділяється випадку нескінченновимірних систем, збудованих за системами із загаюваннями нейтрального типу із розподіленими загаюваннями. Більш детально досліджується питання про зв'язок між точною нуль-керованістю та повною стабілізацією. Загалом між цими поняттями немає еквівалентності. Однак для деяких класів рівнянь нейтрального типу існує еквівалентність. Питання про те, чи є еквівалентність для більш загальних систем, залишається відкритим. Це короткий і невичерпний огляд деяких досліджень теорії керування у нескінченновимірних просторах. Наші роботи в цій сфері були ініційовані В.І. Коробовим протягом 70-х років минулого сторіччя у Харківському державному університеті.
Ключові слова: Точна керованість; повна стабілізація; нескінченновимірні системи; нейтральний тип.
2010 Mathematics Subject Classification: 93B05; 93D15; 93C23; 93C43. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Метод функції керованості, введений В.І. Коробовим наприкінці 1970-х років, як відомо, є ефективним інструментом для дослідження систем керування. Ця стаття поєднує цей метод із популярною сьогодні теорією однорідності. Зокрема, показано, що так звана однорідна норма в деяких випадках є функцією керованості системи. Більше того, замкнута система керування є однорідною в узагальненому сенсі. Це відразу дає багато корисних властивостей системи, таких як робастість (стабільність вхідного стану) щодо досить великого класу збурень.
Розширена анотація: Метод функції керованості, введений В.І. Коробовим наприкінці 1970-х років, як відомо, є ефективним інструментом для проектування систем керування. Він розроблений як для лінійних/нелінійних, так і для скінченно/нескінченновимірних систем. Ця стаття поєднує цей метод із теорією однорідності, що корінням сягає початку 18 століття та являє собою симетрією функції щодо рівномірного масштабування її аргументу. Узагальнення такого ефективного підходу були введені в 20 столітті. У цій роботі показано, що так звана однорідна норма є функцією керованості лінійної автономної системи керування, а відповідна замкнута система є однорідною в узагальненому сенсі. Це відразу дає багато корисних властивостей, відомих для однорідних систем, таких як робастість (стабільність вхідних даних) щодо досить великого класу збурень, зокрема щодо обмежених адитивних шумів вимірювання та обмежених адитивних екзогенних збурень. Основна теорема, представлена в цій роботі, дещо уточнює побудову функції керованості для лінійних автономних систем керування з кількома входами. Процедура полягає в розв'язанні лінійного алгебраїчного рівняння та систему лінійних матричних нерівностей. Сама однорідність і використання канонічної однорідної норми істотно спрощують знаходження функції керованості та аналіз замкнутої системи. Теоретичні результати підкріплені прикладами. Перспективним напрямком для майбутніх досліджень є подальше вивчення побудови функцій керованості на основі однорідності.
Ключові слова: функція керованості; узагальнена однорідність; робастність.
2010 Mathematics Subject Classification: 34H05; 34H15; 93C10; 93C15. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Ми доводимо достатню умову стійкості вхід-стан за скіченний час нескінченних мережевих систем в термінах малого посилення (small gain condition). Мережева система, що розглядається, складається зі зліченної множини скінченновимірних систем звичайних диференціальних рівнянь, кожна з яких з'єднана тільки зі скіченною множиною сусідніх підсистем, а також містить зовнішнє збурення. Передбачається, що кожен вузол мережі (кожна підсистема) є стійкою вхід-стан за скінченний час відносно його скінченновимірних входів утворених фазовими змінними сусідніх підсистем і зовнішнім збуренням. Як застосування цього результату (наслідок) ми отримуємо нову теорему про децентралізовану стабілізацію вхід-стан за скінченний час для нескінченних мережевих систем, які представляють собою зліченний набір з'єднаних трикутних систем звичайних диференціальних рівнянь. Для цього ми комбінуємо доведену в даній роботі теорему малого посилення (small gain theorem) з методом побудови децентралізованих стабілізуючих керувань, який отримано в роботі S.Pavlichkov and C.K. Pang (NOLCOS-2016) для кінцевих мережевих систем. Дана робота переносить результати недавньої роботи S. Dashkovskiy and S. Pavlichkov, Stability conditions for infinite networks of nonlinear systems and their application for stabilization, Automatica. - 2020. -112. - 108643 на випадок стабілізації за скіченний час.
Розширена анотація: Ми доводимо достатню умову стійкості вхід-стан за скіченний час нескінченних мережевих систем в термінах малого посилення (small gain condition). Мережева система, що розглядається, складається зі зліченної множини скінченновимірних систем звичайних диференціальних рівнянь, кожна з яких з'єднана тільки зі скіченною множиною сусідніх підсистем, а також містить зовнішнє збурення. Передбачається, що кожен вузол мережі (кожна підсистема) є стійкою вхід-стан за скінченний час відносно його скінченновимірних входів утворених фазовими змінними сусідніх підсистем і зовнішнім збуренням. Як застосування цього результату (наслідок) ми отримуємо нову теорему про децентралізовану стабілізацію вхід-стан за скінченний час для нескінченних мережевих систем, які представляють собою зліченний набір з'єднаних трикутних систем звичайних диференціальних рівнянь. Для цього ми комбінуємо доведену в даній роботі теорему малого посилення (small gain theorem) з методом побудови децентралізованих стабілізуючих керувань, який отримано в роботі S. Pavlichkov and C.K. Pang (NOLCOS-2016) для кінцевих мережевих систем. Дана робота переносить результати недавньої роботи S. Dashkovskiy and S. Pavlichkov, Stability conditions for infinite networks of nonlinear systems and their application for stabilization, Automatica. - 2020. -112. - 108643 на випадок стабілізації за скіченний час. Ця стаття поширює та узагальнює свого попередника - конференційну статтю на випадок стійкості вхід-стан за скінченний час та децентралізованої стабілізації за наявності зовнішніх входів-збурень. В окремому випадку, коли всі зовнішні збурення є нулями, ми просто отримуємо стійкість за скінченний час та відповідно децентралізовану стабілізацію нескінченних мережевих систем за скінченний час.
Ключові слова: нелiнiйнi системи; стiйкiсть вхiд-стан; умови малого посилення.
2010 Mathematics Subject Classification: 93C10; 93A15; 93D25; 93B70; 93D40; 93A14. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: У статтi знайдено умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна задачi Кошi для диференцiально-алгебраїчного рiвняння з виродженим iмпульсним впливом. Знайдено умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна для лiнiйної нетерової крайової задачi для диференцiально-алгебраїчного рiвняння з виродженим iмпульсним впливом.
Розширена анотація: Дослiдження диференцiально-алгебраїчних крайових задач започатковане у роботах К. Вейєрштрасса, М. М. Лузiна та Ф. Р. Гантмахера. Систематичному вивченню диференцiально-алгебраїчних крайових задач присвяченi роботи С. Кемпбелла, Ю. Є. Бояринцева, В. Ф. Чистякова, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, В. П. Яковця, О. А. Бойчука, А. Iлчманна та Т. Рейса. Вивчення диференцiальноалгебраїчних крайових задач пов’язане з численними застосуваннями таких задач у теорiї нелiнiйних коливань, у механiцi, бiологiї, радiотехнiцi, теорiї керування, теорiї стiйкостi руху. В той же час дослiдження диференцiально-алгебраїчних крайових задач тiсно пов’язане з дослiдженням iмпульсних крайових задач для диференцiальних рiвнянь, започаткованим у роботах М. М. Боголюбова, А. Д. Мишкiса, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка та О. А. Бойчука. Отже, актуальною проблемою є перенесення результатiв, отриманих у статтях С. Кемпбелла, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка та О. А. Бойчука на iмпульснi крайовi задачi для диференцiальноалгебраїчних рiвнянь, зокрема, знаходження необхiдних та достатнiх умов iснування шуканих розв’язкiв, а також, конструкцiї оператора Грiна задачi Кошi та узагальненого оператора Грiна iмпульсної крайової задачi для диференцiально-алгебраїчного рiвняння. У статтi знайдено умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна задачi Кошi для диференцiально-алгебраїчного рiвняння з виродженим iмпульсним впливом. Знайдено умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна для лiнiйної нетерової крайової задачi для диференцiальноалгебраїчного рiвняння з виродженим iмпульсним впливом. Запропонована у статтi схема дослiдження лiнiйних нетерових крайових задач для диференцiальноалгебраїчного рiвняння з виродженим iмпульсним впливом у критичних i некритичних випадках може бути перенесена на крайовi задачi для диференцiальноалгебраїчних рiвнянь з виродженим iмпульсним впливом. Побудована схема аналiзу лiнiйної нетерової крайової задачi для диференцiально-алгебраїчного рiвняння з виродженим iмпульсним впливом узагальнює результати С. Кемпбелла, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка та О. А. Бойчука i може бути поширена для доведення розв’язностi та побудови розв’язкiв нелiнiйної iмпульсної крайової задачi для диференцiально-алгебраїчного рiвняння у критичних i некритичних випадках.
Ключові слова: диференцiально-алгебраїчнi рiвняння; крайовi задачi; рiвняння з iмпульсним впливом.
2010 Mathematics Subject Classification: 15A24; 34В15; 34C25. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Стаття присвячена проблемі поширення хвильових пакетів у тришаровій гідродинамічній системі «шар з твердим дном – шар – шар з кришкою», стратифікованій за густиною. З використанням методу багатомасштабних розвинень отримано перші три наближення досліджуваної задачі, з яких в статті наведено перші два. Представлено розв’язки першого наближення та дисперсійне співвідношення. Виведено еволюційні рівняння обвідних хвильових пакетів на поверхнях контакту у вигляді нелінійного рівняння Шредінгера. Отримано частинний розв’язок нелінійного рівняння Шредінгера. Виведено формули відхилень поверхонь контакту та умови, при яких змінюється форма хвильових пакетів на верхній та нижній поверхнях контакту. Наведено та проаналізовано області знакосталості коефіцієнтів при других гармоніках на верхній та нижній поверхнях контакту для обох пар частот. Також графічно проілюстровано та проаналізовано різні випадки, при яких виникає асиметрія форми хвильових пакетів.
Розширена анотація: Стаття присвячена проблемі поширення хвильових пакетів у тришаровій гідродинамічній системі «шар з твердим дном – шар – шар з кришкою», стратифікованій за густиною. Виконано огляд сучасних досліджень з обраної тематики. Математична постановка задачі наведена в безрозмірному вигляді та містить рівняння руху рідини, кінематичні та динамічні умови на поверхнях контакту, а також граничні умови на кришці та на дні. З використанням методу багатомасштабних розвинень отримано перші три наближення досліджуваної задачі, з яких в статті наведено перші два, оскільки третє наближення має громіздкий аналітичний вигляд. Представлено розв’язки першого наближення та дисперсійне співвідношення. Виведено еволюційні рівняння обвідних хвильових пакетів на поверхнях контакту у вигляді нелінійного рівняння Шредінгера на основі дисперсійного співвідношення та умов розв’язності другого та третього наближень. Отримано частинний розв’язок нелінійного рівняння Шредінгера після переходу до системи, яка рухається з груповою швидкістю. Для першого та другого наближення виведено формули відхилень поверхонь контакту, з урахуванням розв’язку нелінійного рівняння Шредінгера. Виведено умови, при яких змінюється форма хвильових пакетів на верхній та нижній поверхнях контакту. Наведено та проаналізовано області знакосталості коефіцієнтів при других гармоніках на верхній та нижній поверхнях контакту для обох пар частот, які є коренями дисперсійного співвідношення. Також, для обох пар частот графічно проілюстровано та проаналізовано різні випадки накладання максимумів та мінімумів першої та другої гармонік, при яких виникає асиметрія форми хвильових пакетів. Всі результати проілюстровані графічно. Аналітичні перетворення, обчислення та графічне представлення результатів виконано з використанням пакету символьних обчислень та комп’ютерної алгебри Maple.
Ключові слова: тришарова гідродинамічна система; хвильові пакети; форма хвильових пакетів.
2010 Mathematics Subject Classification: 76A02; 76B15; 76M35. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: 27 вересня 2021 року виповнилося 80 років з дня народження Валерія Івановича Коробова. Редколегія вітає.
2010 Mathematics Subject Classification: 01A70. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.