Коротка анотація: Отримано необхідні та достатні умови повної керованості систем лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіціентами в просторі Л. Шварца. Знайдено також ряд ефективних достатніх умов повної керованості для окремих випадків. Для всіх ціх окремих випадків наведено приклади.
Розширена анотація: Останнім часом теорія керованості вивчалася в багатьох роботах. Але чимало з них присвячено керованим системам, які описуються звичайними диференціальними рівняннями. У випадку систем, які описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними, вони вивчалися здебільшого для класичних рівнянь математичної фізики. Наприклад, у роботах Г. Скляра і Л. Фардиголи було вивчено проблеми керованості для хвильового рівняння на пів осі. У цій роботі проблему повної керованості вивчено для систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами в просторах Шварца швидко спадних функцій. Одержано необхідні і достатні умови повної керованості цих систем з розподіленим керуванням спеціального вигляду: $\textbf{u}(x,t)= e^{-\alpha t}u(x)$. Для доведення цих умов було використано інші необхідні і достатні умови, одержані автором раніше (див. роботу ``Керованість еволюційного диференціального рівняння в частинних похідних''. Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна. Серія ``Математика, прикладна математика і механіка''. 2016. Т. 83, с. 47--56). Так система \begin{equation*} \frac{\partial w(x,t)}{\partial t} = P\left(\frac\partial{i\partial x} \right) w(x,t)+ e^{-\alpha t}u(x),\quad t\in[0,T], \ x\in\mathbb R^n, \eqno{(1)} \end{equation*} є повністю керованою в просторі Шварца, якщо існує $\alpha>0$ таке, що $$ \det\left( \int_0^T \exp\big(-t(P(s)+\alpha E)\big)\, dt\right)\neq 0,\quad s\in\mathbb R^N. $$ Ця умова єквівалентна наступній умові: існує $\alpha>0$ таке, що $$ \exp\big(-T(\lambda_j(s)+\alpha)\big)\neq 1,\quad \text{якщо}\ (\lambda_j(s)+\alpha)\neq0,\qquad s\in\mathbb R^n,\ j=\overline{1,m}, $$ де $\lambda_j(s)$, $j=\overline{1,m}$, є власними значеннями матриці $P(s)$, $s\in\mathbb R^n$. Також досліджено окремий випадок системи~(1), для якої $\operatorname{Re} \lambda_j(s)$, $s\in\mathbb R$,\linebreak $j=\overline{1,m}$, є обмеженими зверху або знизу. Наприклад, системи~(1), які є коректними за Петровським, є повністю керованими. Одержано також умови існування системи вигляду~(1), яка не є повністю керованою. Наведено приклад такої системи. Проте, якщо керування заданого вигляду не існує, то може існувати керування іншого вигляду. Приклад, що ілюструє цей ефект, також наведено в роботі.
Ключові слова: повна керованість; задача Коши; перетворення Фур'є.
2010 Mathematics Subject Classification: 35M10. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Нехай $RG$ -- групова алгебра скінченної групи $G$ над полем $ R $ дійсних чисел. Імовірність $P(g)$ на групі $ G $ відповідає елементу $p=\sum\limits_{g}^{} P(g)g \in RG$; ми називаємо її ймовірністю на алгебрі $ RG $. Для натурального числа $n$, $n$-кратна згортка ймовірності $ P $ на $ G $ відповідає $ p ^ n \in RG $. Нехай $ e\in RG $ -- ймовірність, що відповідає рівномірній ймовірності $E (g) = |G| ^ {- 1} (g\in G)$. Дві ймовірності $p, p_1 \in RG$ називаються додатковими, якщо їх опукла лінійна комбінація дорівнює $e$, тобто $\alpha p + (1-\alpha) p_1 = e$ для деякого $ \alpha $, $ 0 <\alpha <1$. Ми знаходимо умови існування такого $ \alpha $ і порівнюємо $ \parallel p ^ n-e \parallel $ і $ \parallel {p_1} ^ n-e \parallel$ для довільної норми $\|.\|$.
Розширена анотація: Нехай функція $ P $ є ймовірністю на скінченній групі $ G $, тобто $P(g)\geq 0\ $ \linebreak $(g\in G),\ \sum_{g}P(g)=1$ (ми пишемо $\sum\limits_{g}$ замість $\sum\limits_{g\in G})$. Згортка двох функцій $ P$, $Q$ на групі $ G $ є $ (P*Q)(h)=\sum\limits_{g}P(g)Q(g^{-1}h)\ \ (h\in G)$. Нехай $E(g)=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g}g$ є рівномірною (тривіальною) ймовірністю на групі $G$, $P^{(n)}=P*...*P$ ($n$ разів) - $n$ -кратна згортка $P$. За добре відомої нескладної умови ймовірність $P^{(n)}$ збігається до $E(g)$ при $n\rightarrow\infty$. Багато робіт присвячено оцінці швидкості цієї збіжності для різних норм. Будь-яка ймовірність (і, загалом, будь-яка функція зі значеннями в полі $ R $ дійсних чисел) на групі може бути пов'язана з елементом групової алгебри цієї групи над полем $ R $. Це можна зробити наступним чином. Нехай $RG$ - групова алгебра скінченної групи $G$ над полем $R$. Ймовірність $P(g)$ на групі $G$ відповідає елементу $p = \sum\limits_{g} P(g)g$ алгебри RG. Ми позначаємо функцію на групі $G$ великою літерою, а відповідний елемент з $RG$ тією ж (але малою) літерою, і останній називаємо ймовірністю на $RG$. Наприклад, рівномірна ймовірність $E (g)$ відповідає елементу $e=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g}g\in RG.$ Згортка двох функцій $P, Q$ на $G$ відповідає добутку $pq$ відповідних елементів $P, Q$ в груповій алгебрі $RG$. Для натурального числа $n$, $n$-кратна згортка ймовірності $P$ на $G$ відповідає елементу $p^n \in RG$. У статті ми вивчаємо випадок, коли лінійна комбінація двох ймовірностей в алгебрі $RG$ дорівнює ймовірності $e\in RG$. Така лінійна комбінація повинна бути опуклою. Точніше, ми співставляємо ймовірності $p \in RG$ іншу ймовірність $p_1 \in RG$ наступним чином. Дві ймовірності $p, p_1 \in RG$ називаються додатковими, якщо їх опукла лінійна комбінація дорівнює $e$, тобто $\alpha p + (1- \alpha) p_1 = e$ для деякого числа $\alpha$, $0 <\alpha <1$. Ми знаходимо умови існування такого $\alpha$ і порівнюємо $\parallel p ^ n-e \parallel$ та $\parallel {p_1} ^ n-e \parallel$ для довільної норми $ \|.\| $.
Ключові слова: ймовірність; скінченна група; збіжність; групова алгебра.
2010 Mathematics Subject Classification: 60B15, 60B10; 20D99. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: У статті наводяться достатні умови для існування та єдиності розв'язку неявного лінійного різницевого рівняння будь-якого порядку над деяким класом неархімедових кілець, з окрема кільцем формальних степеневих рядів. Показано, що цей розв'язок можна знайти за допомогою правила Крамера. Також наведені деякі результати щодо таких рівнянь над кільцем поліномів.
Розширена анотація: Над будь-яким полем неявне лінійне різницеве рівняння зводиться до звичайного явного, яке має нескінченно багато розв'язків -- свій для кожного початкового значення. Цікаво розглянути неявне різницеве рівняння над кільцем, оскільки над будь-яким кільцем випадок неявного рівняння значно відрізняється від випадку явного. Результати щодо різницевих рівнянь над кільцями, що були отримані раніше, здебільшого стосуються кільця цілих чисел і рівнянь першого та другого порядку. У цій статті вивчаються неявні різницеві рівняння високого порядку над деякими іншими класами кілець, зокрема, над кільцем поліномів. Для вивчення різницевого рівняння над кільцем цілих чисел корисною була ідея розглянути цілі $p$-адичні числа -- поповнення кільця цілих чисел щодо неархімедової $p$-адичної норми. Щоб знаходити розв'язок неявного різницевого рівняння над кільцем поліномів, природним буде розглянути таку ж конструкцію для цього кільця: кільце формальних степеневих рядів, яке є поповненням кільця поліномів щодо неархімедової норми. Кільце формальних степеневих рядів та кільце цілих $p$-адичних чисел -- це окремі випадки кільця нормування щодо неархімедової норми деякого поля: поля рядів Лорана та поля $p$-адичних раціональних чисел відповідно. У цій статті вивчається неявне лінійне різницеве рівняння над кільцем нормування довільного поля нульової характеристики з неархімедовим нормуванням. Сформульовано достатні умови для єдиності та існування розв'язку. Наведено явну формулу для єдиного розв'язку, яка має вигляд суми ряду, що сходиться за неархімедовою нормою. Різницеве рівняння відповідає нескінченній системі лінійних рівнянь. Доведено, що у випадку, коли неявне різницеве рівняння має єдиний розв'язок, його можна знайти, використовуючи правило Крамера. Також у статті наведені деякі результати, що полегшують пошук розв'язку неявного різницевого рівняння над кільцем поліномів.
Ключові слова: різницеве рівняння; неархімедове нормування; кільце поліномів.
2010 Mathematics Subject Classification: 12J25; 39A06. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: 24 травня 2021 року виповнилося 75 років з дня народження відомого математика, академіка НАН України Олександра Андрійовича Борисенка. Редколегія вітає. За матеріалами інтерв'ю О.А. Борисенка: ''Пів століття в геометрії. До 75-річчя члена-кореспондента НАН України О.А. Борисенка. (2021). Вісник Національної академії наук України, (5), 95–102.''
2010 Mathematics Subject Classification: 01A70. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: 3 грудня 2020 року пішов з життя старший науковий співробітник кафедри прикладної математики Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна Борисов Іван Дмитрович. Світла пам'ять про Івана Дмитровича Борисова, справжнього вченого і чудову людину, назавжди залишається у серцях його колег, учнів і друзів.
2010 Mathematics Subject Classification: 01A70. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.