Коротка анотація: Знайдені умови розв'язності, а також конструкція узагальненого оператора Гріна для лінійної нетерової крайової задачі для матричного різницево-алгебраїчного аналога рівняння Ляпунова.
Розширена анотація: Дослідження диференціально-алгебраїчних крайових задач започатковане у роботах К. Вейєрштрасса, М. М. Лузіна та Ф. Р. Гантмахера. Систематичному вивченню диференціально-алгебраїчних крайових задач присвячені роботи С. Кемпбелла, Ю. Є. Бояринцева, В. Ф. Чистякова, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, В. П. Яковця, О. А. Бойчука, А. Ілчманна та Т. Рейса. Вивчення диференціально-алгебраїчних крайових задач пов'язане з численними застосуваннями таких задач у теорії нелінійних коливань, у механіці, біології, радіотехніці, теорії керування, теорії стійкості руху. В той же час дослідження диференціально-алгебраїчних крайових задач тісно пов'язане з дослідженням крайових задач для різницевих рівнянь, започаткованим у роботах А. А. Маркова, С. Н. Бернштейна, Я. С. Безиковича, О. О. Гольфонда, С. Л. Соболєва, В. С. Рябенького, В. Б. Демідовича, А. Халаная, Г. І. Марчука, О. А. Самарського, Ю. О. Митропольського, Д. І. Мартинюка, Г. М. Вайніко, А. М. Самойленка, О. А. Бойчука та О. М. Станжицького. Дослідженню нелінійних сингулярно збурених крайових задач для різницевих рівнянь у частинних різницях присвячені роботи В. П. Аносова, Л. С. Франка, П. Є. Соболєвського, О. Л. Скубачевського та А. Ашералієва. Отже, актуальною проблемою є перенесення результатів, отриманих у статтях С. Кемпбелла, А. М. Самойленка та О. А. Бойчука на лінійні крайові задачі для різницево-алгебраїчних рівнянь, зокрема, знаходження необхідних та достатніх умов існування шуканих розв'язків, а також, конструкції оператора Гріна задачі Коші та узагальненого оператора Гріна лінійної крайової задачі для різницево-алгебраїчного рівняння Ляпунова. У статті знайдено умови розв'язності, а також конструкцію узагальненого оператора Гріна задачі Коші для різницево-алгебраїчного рівняння Ляпунова. Знайдено умови розв'язності, а також конструкцію узагальненого оператора Гріна для лінійної нетерової крайової задачі у випадку різницево-алгебраїчного рівняння Ляпунова. Запропоновано оригінальну класифікацію критичних і некритичних випадків для лінійної нетерової крайової задачі у випадку різницево-алгебраїчного рівняння Ляпунова.
Ключові слова: різницево-алгебраїчні рівняння; крайові задачі; матричне рівняння Ляпунова.
2010 Mathematics Subject Classification: 15A24, 34В15, 34C25. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Побудований чисельно-аналітичний алгоритм дослідження потенціалу сфери з круговим отвором і заряду, оточених стрічковими сферами. Використаний метод обернення інтегрального оператора і напівобернення матричного оператора задачі Діріхле для рівняння Лапласа. Отримано система другого роду з компактним оператором в просторі $\ell_2$. Розглянуто окремі варіанти задачі.
Розширена анотація: Побудований чисельно-аналітичний алгоритм дослідження потенціалу сфери з круговим отвором, оточеної зовнішньої і внутрішньої замкненими стрічковими сферами. Число стрічок на сферах довільно. Стрічки на сферах розділені непровідними нескінченно тонкими перегородками. Перегородки знаходяться в площинах, паралельних площині зрізу сфери з отвором. Кожна стрічка має свій незалежний потенціал. Електростатичний заряд розміщений між зовнішньою сферою і сферою з отвором на осі структури. Повні потенціали повинні задовольняти, зокрема, рівнянь Максвелла з урахуванням відсутності магнітних полів, задовольняти граничним умовам, мати необхідну особливість в точці розміщення заряду. Для вирішення поставленого завдання спочатку використані метод часткових областей і розділення змінних в сферичної системі координат. При цьому для рядів Фур'є застосовуємо степеневі функції і поліноми Лежандра цілих порядків. З граничних умов, використовуючи допоміжну систему 3-х рівнянь з 4-ма невідомими, отримана парна система функціональних рівнянь першого роду відносно коефіцієнтів рядів Фур'є. Система неефективна для вирішення прямими методами. Застосовані метод обернення інтегрального оператора Вольтерра і напівобернення матричного операторів задачі Діріхле для рівняння Лапласа. Метод заснований на ідеях аналітичного методу задачі Рімана - Гільберта. При цьому використані інтегральні уявлення для поліномів Лежандра. Отримано система лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду з компактним матричним оператором у гільбертовому просторі $\ell_2$. Система ефективно вирішується чисельно для довільних параметрів задачі і аналітично для граничних параметрів задачі. Розглянуто окремі варіанти завдання.
Ключові слова: cфери; отвір; електростатика; лінійна система другого роду; компакт.
2010 Mathematics Subject Classification: 65N12; 35A25; 78A45. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Запропоновано обчислювальні підходи щодо оптимального управління процесами теплопровідності. Розглянуто приклад та показано, що оптимізація управління може зменшити вдвічі час, необхідний для нагрівання конструкцій.
Розширена анотація: Запропоновано узагальнене математичне формулювання задачі про оптимальне управління процесами теплопровідності, що визначаються диференціальним рівнянням у частинних похідних. Запропоноване формулювання не включає необхідних роз'яснень щодо умов, яким повинні відповідати поточні та необхідні температурні поля. Але, в процесі узагальненого розв'язування сформульованої задачі, встановлено, що поточне та необхідне температурні поля повинні бути узгодженими із математичною моделлю теплопровідності таким чином, щоб мати можливості однозначно забезпечити ці температурні поля за допомогою належного вибору вектору управління. Для розв'язування сформульованої задачі про оптимальне управління процесами теплопровідності розроблено обчислювальні підходи, що засновані на зведенні до спеціально побудованих звичайних диференціальних рівнянь та задачі мінімізації. Це зведення засноване на дискретизації проблеми теплопровідності із застосуванням методу сіток та на визначенні невідомого вектора управління шляхом обчислювального розв'язування спеціально побудованої для цього задачі Коші. Для задоволення всіх потрібних обмежень пропонується побудувати допустиму швидкість невідомого вектора управління з урахуванням необхідності перемикання управління в деякі моменти часу. Приклад використання запропонованих узагальнених підходів розглянуто для ілюстрації техніки їхнього застосування. Показано, що запропонована узагальнена математична постановка повністю відповідає розглянутому прикладу. У цьому розглянутому прикладі можна побудувати розв'язувальну задачу Коші, а час перемикання можна знайти у залежності від вибору вузла сітки. Показано, що в розглянутому прикладі перехідний час може зменшуватися майже вдвічі за рахунок оптимізації управління. Усі ці результати дозволяють чітко уявити запропоновані підходи та техніку їхнього використання для розв'язування інженерних задач щодо оптимального управління процесами теплопровідності в різних промислових системах.
Ключові слова: управління; моделювання; оптимізація; методи; теплопровідність.
2010 Mathematics Subject Classification: 49Mxx; 80Axx. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Досліджується квазілінійна система трьох диференціальних рівнянь гіперболічного типу, яка описує осідання частинок суспензії, що агрегують. Суспензія поміщена в тонку довгу трубку в неоднорідному уздовж трубки полі зовнішніх сил. Система рівнянь для масових і об'ємних концентрацій і середнього розміру агрегатів в одномірної постановці допускає розривні рішення. Характеристики системи відповідають поверхням розривів концентрацій агрегатів, з яких зовнішня поверхня визначає швидкість осідання, яка може вимірюватися в експериментах, а внутрішня може мати різну структуру від простого стрибка концентрацій до стрибка, який супроводжується хвилею розрідження або віялом характеристик на рухомий нижній границі. Проведено детальне дослідження умов існування різних типів розв'язків. Обговорюється застосування результатів для розв'язання різних прикладних задач.
Розширена анотація: Математична модель процесу осідання частинок суспензії зазвичай являє собою квазілінійну гіперболічного систему диференціальних рівнянь, доповнену початковими і крайовими умовами. В даній статті досліджується ускладнена модель, що враховує агрегування частинок і неоднорідність поля зовнішніх масових сил. Розглянуто випадок однорідних початкових умов, коли всі параметри руху, що виникає, залежать тільки від однієї просторової декартової координати $x$ і від часу $t$. На відміну від відомих постановок задач для квазілінійних систем рівнянь (наприклад, в газовій динаміці), розв’язки яких містять сильні розриви, у досліджуваній постановці основна система рівнянь виконується тільки по один бік від лінії розриву в площині змінних $(t; x)$. По інший бік від лінії розриву рівняння, взагалі кажучи, мають принципово інший вигляд. Ми обмежуємося вивченням випадку, коли в компактній зоні, зайнятій осілими частинками, ніякого руху немає, тобто усі швидкості дорівнюють нулю і об'ємні частки всіх фаз не змінюються з часом. Розглянуто задачу про седиментацію еритроцитів в полі відцентрових сил в центрифузі, при її рівномірному обертанні з кутовою швидкістю $\omega=const$. Проведено дослідження умов існування різних типів розв’язків. Однією з основних є проблема еволюційності (стійкості) виникаючих сильних розривів. Розв’язання цієї проблеми пов'язано з аналізом співвідношень для характеристичних швидкостей і швидкості переміщення поверхні розриву. Відповідь залежить від числа характеристик, що приходять до розриву, і від кількості додаткових умов, що задаються на поверхні розділу. Розрив на нижній межі області, зайнятої чистої плазмою, завжди стійкий. Але для поверхні розриву, що розділяє зони осілих і рухомих частинок, умова еволюційності може порушуватися. В цьому випадку необхідне коригування вихідної математичної моделі.
Ключові слова: диференціальні рівняння; гіперболічні системи; характеристики; седиментація; агрегація.
2010 Mathematics Subject Classification: 35L57; 76T20. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
2010 Mathematics Subject Classification: 01A70. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
2010 Mathematics Subject Classification: 01A70. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.