Коротка анотація: Нехай $P$ - ймовірність на скінченній групі $G$, $U(g)=\textstyle\frac{1}{|G|}$ - рівномірна ймовірність на $G$, $P^{(n)}$ - $n$-кратна згортка функції $P$. Добре відомі умови, при яких $P^{(n)}\rightarrow U$ при $n\rightarrow\infty$. Оцінці швидкості цієї збіжності для різних норм присвячено багато робіт. Ми розглядаємо скінченні групи, які мають двічі транзитивне зображення підстановками, і ймовірність $P$, що природно виникає в цьому зображенні. В роботі дана точна формула швидкості збіжності для таких груп відносно норми $\|F\|=\sum\limits_{g\in G} |F(g)|$, де $F(g)$ --- функція на групі $G$.
Розширена анотація: Нехай $P$ - ймовірність на скінченній групі $G$, $U(g)=\textstyle\frac{1}{|G|}$ - рівномірна (або тривіальна) ймовірність на групі $G$, $P^{(n)}=P *\ldots*P$ - $n$- кратна згортка функції $P$. Добре відомі умови, при яких $P^{(n)}\rightarrow U$ при $n\rightarrow\infty$. Оцінці швидкості цієї збіжності для різних норм присвячено багато робіт. Ми розглядаємо скінченні групи, які мають двічі транзитивне зображення підстановками, і ймовірність, яка природно виникає в цьому зображенні. Ця ймовірність на кожному елементі групи $G$ пропорційна числу нерухомих (або стаціонарних) точок цього елемента, який розглядається як підстановка. Інакше кажучи, ця ймовірність є характером зображення групи $G$ підстановками. Ймовірність називають класовою, якщо вона приймає однакові значення на кожному класі спряжених елементів групи, тобто є функцією класу. Розглядувана ймовірність є класовою, бо будь-який характер групи приймає однакові значення на спряжених елементах. Будь-якій ймовірності (і, взагалі, функції із значеннями у довільному кільці $K$) на групі $G$ можна зіставити елемент групової алгебри $KG$ цієї групи над цим кільцем $K$. Класовій ймовірності відповідає елемент центра цієї групової алгебри, тому класову ймовірність також називають центральною. На абелевій групі будь-яка ймовірність є класовою (центральною). В роботі розглянута збіжність відносно норми $\|F\|=\sum\limits_{g\in G} |F(g)|$, де $F(g)$ - функція на групі $G$. Для цієї норми дана точна формула (а не просто оцінка, як у переважній більшості робіт) швидкості збіжності згортки $P^{(n)}$ до тривіальної ймовірності $U(g)$ на групі $G$. Виявляється, що норма різниці $\|P^{(n)}-U\|$ визначається порядком групи $G$, її степенем, як групи підстановок, та числом регулярних підстановок у групі $G$. Регулярною називається підстановка, яка не має нерухомих точок. Розглянуто застосування вказаної формули у випадках, коли група $G$ є симетричною, знакозмінною групою, групою Цассенхауза і групою Фробеніуса порядку $p(p-1)$ з ядром Фробеніуса порядку $p$ і доповненням порядку $p-1$ ($p$ --- просте число). Групою Цассенхауза називається двічі транзитивна група підстановок скінченної множини, в якій лише одинична підстановка залишає на місці більше двох елементів цієї множини.
Ключові слова: ймовірність; скінченна група; збіжність; згортка.
2010 Mathematics Subject Classification: 20D99; 60B15; 60B10. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Отримано достатні умови існування розв'язку нелінійної нетерової крайової задачі для системи диференціально-алгебраїчних рівнянь. Досліджено випадок невиродженої системи диференціально-алгебраїчних рівнянь, а саме: диференціально-алгебрачної системи, що приводиться до системи звичайних диференціальних рівнянь з довільною неперервною функцією.
Розширена анотація: У статті отримано достатні умови існування розв'язку нелінійної нетерової крайової задачі для системи диференціально-алгебраїчних рівнянь, широко використовуваних в механіці, економіці, електротехніці та теорії управління. Досліджено випадок невиродженої системи диференціально-алгебраїчних рівнянь, а саме: диференціально-алгебраїчної системи, розв'язної відносно похідної. В цьому випадку нелінійна система диференціально-алгебраїчних рівнянь зводиться до системи звичайних диференціальних рівнянь з довільною неперервною функцією. Досліджена в статті нелінійна диференціально-алгебраїчна крайова задача узагальнює численні постановки нелінійних нетерових крайових задач, що розглядалися в монографіях А.М. Самойленка, Е.О. Гребенікова, Ю.О. Рябова, О.А. Бойчука і С.М Чуйка, а отримані результати можуть бути перенесені на матричні крайові задачі для диференціально-алгебраїчних систем. Отримані в статті результати дослідження диференціально-алгебраїчних крайових задач, на відміну від робіт С. Кемпбелла, В.Ф. Бояринцева, В.Ф. Чистякова, А.М. Самойленка і О.А. Бойчука, не передбачають використання центральної канонічної форми, а також досконалих пар і трійок матриць. Для побудови розв’язків даної крайової задачі запропонована ітераційна схема з використанням методу простих ітерацій. Запропоновані умови розв'язності, а також схема знаходження розв'язків нелінійної нетерової диференціально-алгебраїчної крайової задачі проілюстровані на прикладі. Для оцінки точності знайдених наближень до розв’язку нелінійної диференціально-алгебраїчної крайової задачі знайдені нев'язки отриманих наближень у початковому рівнянні. Відзначимо також, то знайдені наближення до розв’язку нелінійної диференціально-алгебраїчної крайової задачі в точності відповідають крайовій умові.
Ключові слова: нелінійні нетерові крайові задачі; диференціально-алгебраїчні рівняння; псевдообернена матриця.
2010 Mathematics Subject Classification: 34B15. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: У роботі розглядається нелокальна крайова задача для еволюційних псевдодиференціальних рівнянь у нескінченному шарі. Вводиться поняття частково параболічної крайової задачі, коли розв'язувальна функція експоненціально убуває лише по частині просторових змінних. Отримані необхідні та достатні умови на символ псевдодиференціального оператора, при яких існують частково параболічні крайові задачі. Досліджено також збурене псевдодиференціальне рівняння з символом, що залежить від просторових і часових змінних
Розширена анотація: У роботі розглядається нелокальна крайова задача для еволюційних псевдодиференціальних рівнянь у нескінченному шарі. Вводиться поняття частково параболічної крайової задачі, коли розв'язувальна функція експоненціально убуває лише по частині просторових змінних. Це поняття узагальнює поняття параболічної крайової задачі, яке було раніше досліджено одним з авторів даної роботи (Макаровим О.А.) Отримані необхідні та достатні умови на символ псевдодиференціального оператора, при яких існують частково параболічні крайові задачі. Виявилося, що реальна частина символу псевдодиференціальних операторів повинна необмежено зростати степеневим чином за частиною просторових змінних. При цьому вказується конкретний вид крайових умов, які залежать від псевдодиференціального рівняння і також є псевдодифференціальними операторами. Показано, що у розв'язків частково параболічних крайових задач підвищується гладкість розв'язку за частиною просторових змінних. Досліджено також збурене псевдодиференціальне рівняння з символом, що залежить від просторових і часових змінних. Для частково параболічних крайових задач з'ясовано якими псевдодиференціальними операторами можна обурювати вихідне рівняння, щоб дана крайова задача залишалася коректної в просторах Соболєва--Слободецького. Показано також, що хоча властивість підвищення гладкості розв'язків по частині змінних для частково параболічних крайових задач аналогічна властивості розв'язків частково гіпоеліптичних рівнянь, введених Л.Хермандером, але наведені приклади показують, що з часткової гіпоелліптічності рівняння не слідує існування частково параболічної крайової задачі; і навпаки - наведено приклад частково параболічної крайової задачі для диференціального рівняння, що не є частково гіпоелиптічним.
Ключові слова: крайова задача; псевдодиференціальні рівняння; перетворення Фур'є; параболічність; гіпоеліптичність.
2010 Mathematics Subject Classification: 35S15. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Описано блокову форму сингулярного жмутка операторів, що складається з сингулярного і регулярного блоків, де виділено оборотні та нульові блоки. Показано метод отримання блокової форми сингулярного жмутка та відповідних прямих розкладань просторів, а також способи побудови проекторів на підпростори з прямих розкладань. Проектори дозволяють знайти вигляд блоків. Надано приклади блокових зображень сингулярних жмутків для різних випадків.
Розширена анотація: Описано блокову форму сингулярного жмутка операторів $\lambda A+B$, де $\lambda$-- комплексний параметр, а лінійні оператори $A$, $B$ діють у скінченновимірних просторах. Жмуток операторів $\lambda A+B$ називається регулярним, якщо $n = m = rk(\lambda A+B)$, де $rk(\lambda A+B)$ --- ранг жмутка та $m$, $n$ --- розмірності просторів (оператори відображають $n$-мірний простір у $m$-мірний). В інших випадках, тобто якщо $n \ne m$ або $n = m$ та $rk(\lambda A+B) < n$, жмуток називається сингулярним (нерегулярним). Блокова форма (структура) складається з сингулярного блоку, який є суто сингулярним жмутком (тобто від нього неможливо відокремити регулярний блок) і регулярного блоку. У цих блоках виділено нульові блоки та блоки, які є оборотними операторами. Детально описано метод отримання блокової форми сингулярного жмутка операторів у двох спеціальних випадках, коли $rk(\lambda A+B) = m < n$ та $rk(\lambda A+B) = n < m$, і в загальному випадку, коли $rk(\lambda A+B) < n, m$. Надано способи побудови проекторів на підпростори з прямих розкладань, відносно яких жмуток має потрібний блоковий вигляд. За допомогою цих проекторів можна знайти вигляд блоків і, відповідно, блокову форму жмутка. Наведено приклади знаходження блокової форми для різних типів сингулярних жмутків. Для отримання блокової форми, зокрема, використовувалися результати, що стосуються зведення сингулярного жмутка матриць до канонічного квазідіагонального вигляду, який називають канонічною формою Вейєрштрасса-Кронекера. Також використовуються методи лінійної алгебри. Отримана блокова форма жмутка та відповідні проектори можуть бути використані при розв'язанні різноманітних задач. Зокрема, вони можуть бути застосовані для зведення сингулярного напівлінійного диференціально-операторного рівняння до еквівалентної системи із суто диференціальних і суто алгебраїчних рівнянь. Це значно полегшує аналіз та розв'язання диференціально-операторних рівнянь.
Ключові слова: жмуток операторів; жмуток матриць; сингулярний; регулярний блок; блокова форма; структура.
2010 Mathematics Subject Classification: 47A05; 15A22; 47N20. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: В роботі поставлено та чисельно розв'язано задачу генерації BVI-шуму дволпаттевим ротором гелікоптера сінусоідальної форми вздовж за розмахом лопаті. Виконано розрахунок характеристик ближнього та дальнього звукових полів. Проведено порівняльний аналіз отриманих даних з даними для дволопатевого ротора з лопатями прямокутної форми. Для ротора сінусоідальної форми у більшості розрахункових випадків шум на 3-5\,Дб нижче, а ніж у ротора з лопатями прямокутної форми. При цьому спостерігається істотний перерозподіл енергії звукоутворення з повздовжних у поперечні хвилі. Інтерференційна картина говорить про складний нелінійний характер шуму, що генерується. У спектрі його активуються більш високі частоти. Варіація форми лопаті вздовж за розмахом дозволяє вплинути на характер та рівень BVI-шуму.
Розширена анотація: Як відомо, у природному середовищі усі форми живих істот вдосконалювались на протязі тисячоліть. Тому машинам, повітряним суднам намагаються надати таку форму, що наближує їх до живих істот. За останній час лопаті гелікоптера моделюють наближено до форми пташиного крила. В даній роботі поставлено та чисельно розв'язано модельну задачу генерації BVI-шуму дволопатевим ротором гелікоптера синусоїдальної форми вздовж за розмахом лопаті. Загальна задача скаладається з аeродинамічної та акустичної частин. Спочатку розв'язується задача аеродинаміки: взаємодія лопаті з завихреним потоком, що набігає на неї з нескінченості. Цей потік крім перерозподілу аеродинамічних змінних (тиску та швидкості) спричиняє генерацію звуку (акустична задача) аєродинамічного походження. У роботі використано раніше запропоновану автором, та перевірену модель виділення звуку із нестаціонарного неоднорідного потоку. Виконано розрахунок характеристик ближнього та дальнього звукових полів. Проведено порівняльний аналіз отриманих даних для дволопатевого ротора з лопатями прямокутної форми, та ротора синусоїдальної форми. Для ротора синусоїдальної форми у більшості розрахункових випадків шум на 3-5\,Дб нижче, ніж у ротора з лопатями прямокутної форми. Розрахункові дані вказують на те, що ротор з лопатями сінусоїдальної форми у більшості розрахункових ситуацій менш шумний, ніж ротор з лопатями прямокутної форми. Це відбувається тому, що зігнутість лопаті сприяє більш рівномірному перерозподілу енергії звукоутворення потоку, що набігає, вздовж усієї лопаті. З'являються нові поперечні хвильові фронти. Дані розрахунку також кажують про те, що основними чинниками, які впливають на процес звукоутворення, є форма лопаті вздовж розмаху та ступень її зігнутості. Інтерференційна картина вказує на складний нелінійний характер шуму, що генерується. У спектрі його активуються більш високі частоти. Варіація форми лопаті вздовж за розмахом дозволяє вплинути на характер та рівень BVI-шуму.
Ключові слова: генерація звуку; гелікоптер; BVI-шум.
2010 Mathematics Subject Classification: 76Q05; 76G25. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: Ми досліджуємо задачу швидкодії для безпілотного літального апарату (дрону), що рухається у площині на сталій висоті; розглядається кінематична модель, в якій керуванням є кутова швидкість. Дрон має досягти заданого одиничного кола за найменший можливий час і залишитись на цьому колі, обертаючись за або проти годинникової стрілки. Ми отримуємо повний розв'язок цієї задачі швидкодії і даємо розв'язок задачі оптимального синтезу.
Розширена анотація: Ми досліджуємо задачу швидкодії для безпілотного літального апарату (дрону), що рухається у площині на сталій висоті. Розглядається кінематична модель, в якій керуванням є кутова швидкість. Така система описується рівняннями Маркова-Дубінса; розв'язанню різних задач оптимального і допустимого керування і стабілізації для подібних моделей присвячена велика кількість робіт. У статтях [T. Maillot, U. Boscain, J.-P. Gauthier, U. Serres, Lyapunov and minimum-time path planning for drones, J. Dyn. Control Syst., V. 21 (2015)] та [M.A. Lagache, U. Serres, V. Andrieu, Minimal time synthesis for a kinematic drone model, Mathematical Control and Related Fields, V. 7 (2017)] розв'язується задача швидкодії, в якій дрон має досягти заданого одиничного кола за найменший можливий час і залишитись на цьому колі, обертаючись проти годинникової стрілки. У вказаних роботах, зокрема, показано, що в цьому випадку задача спрощується, а саме, стає двовимірною. У даній роботі ми розглядаємо природне узагальнення вказаної постановки: в нашій задачі дрон має досягти заданого одиничного кола за найменший можливий час і залишитись на ньому, але при цьому обидва напрямки обертання є допустимими. Тобто дрон може обертатися за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки, а напрямок обертання обирається з міркувань мінімізації часу руху. Таке переформулювання приводить до задачі оптимальної швидкодії з двома кінцевими точками. У статті ми отримуємо повний розв'язок цієї задачі швидкодії. Зокрема, ми показуємо, що оптимальне керування набуває значень $\pm1$ або $0$ і має не більше двох перемикань. Якщо оптимальне керування є сингулярним, тобто містить ділянку $u=0$, то така ділянка є єдиною, а тривалість останньої ділянки дорівнює $\pi/3$; більш того, в цьому випадку оптимальне керування неєдине, а кінцева точка може бути як $(0,1)$, так і $(0,-1)$. Якщо ж оптимальне керування є несингулярним, тобто набуває значень $\pm1$, то воно єдине (за винятком випадку, коли тривалість останньої ділянки дорівнює $\pi/3$), а оптимальна траєкторія цілком міститься у верхній або в нижній полуплощині. Також ми даємо розв'язок задачі оптимального синтезу.
Ключові слова: кінематична модель; задача швидкодії; оптимальний синтез.
2010 Mathematics Subject Classification: 49N35; 93C10. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.
Коротка анотація: У даній роботі вивчається керованість лінійних систем перемикання спеціального типу. Перемикання відбувається між двома 2 x 2 матрицями з чисто уявними власними значеннями. Така система описує коливання пружинного маятника з коефіцієнтом жорсткості, який перемикається. Основним результатом роботи є алгоритм, що дозволяє визначити набір сигналів перемикання для переходу з точки в точку, і теорема про керованість для систем перемикання з блочно-діагональною матрицею.
Розширена анотація: Системи перемикання -- це окремий випадок гібридних динамічних систем з дискретною і неперервною динамікою. Вони широко застосовуються, коли реальна система не може бути описана однією єдиною моделлю. У теоретичних роботах по системам перемикання сигнали і час перемикання можуть бути випадковими або контролюватись яким-небудь законом. Стійкість залежить як від векторних полів, так і від закону перемикання. У даній роботі розглядається інша постановка задачі, тобто випадок, коли сигнал перемикання знаходиться під нашим контролем. А саме, система перемикання називається керованою, якщо для будь-яких двох точок існує сигнал перемикання, що дозволяє потрапити з першої точки до другої. У статті вивчається керованість лінійних систем перемикання спеціального типу. Точніше, ми розглянемо перемикання, яке виконується між двома матрицями 2 x 2 з чисто уявними власними значеннями обох матриць. У першому розділі ми обговорюємо фізичний зміст систем перемикання цього типу. А саме, задача коливання пружинного маятника з коефіцієнтом жорсткості, що перемикається, розглядається при послідовному і паралельному приєднанні додаткової пружини до системи з однією даною пружиною. Доводиться, що така система є керованою, і пропонується спосіб пошуку сигналів перемикання. У другому розділі ми представляємо основний результат роботи. Формулюється алгоритм, який дозволяє знайти набір сигналів перемикання для потрапляння з будь-якої початкової точки в будь-яку задану кінцеву точку. Наведено приклад такого керування перемикальними сигналами, змодельований в MATLAB. В останньому розділі ми пропонуємо узагальнення отриманого результату та формулюємо теорему, в якій стверджується керованість системи перемикання спеціального типу з блочно-діагональною матрицею вищої розмірності. Метод, представлений у статті, можна узагальнити для вивчення керованості лінійних систем перемикання більш загального вигляду.
Ключові слова: лінійні системи перемикання; керованість; спосіб перемикання; потрапляння в задану точку; пружинний маятник.
2010 Mathematics Subject Classification: 93C15; 93B05. [ Повний текст (PDF) ] Вгору.