Коротка анотація: Ми розглядаємо задачу Коші для інтегровного нелокального нелінійного рівняння Шредінгера (ННШ) \[ iq_{t}(x,t)+q_{xx}(x,t)+2 q^{2}(x,t)\bar{q}(-x,t)=0 \] з початковими даними типу сходинки: $q(x,0)=o(1)$, при $x\to-\infty$, $q(x,0)=A+o(1)$, при $x\to\infty$, де $A>0$ -- будь-яка константа. Ми розробляємо метод оберненої задачі розсіяння для цієї задачі у вигляді методу задачі Рімана-Гільберта, та отримуємо зображення для розв’язку вихідної задачі у термінах розв’язку відповідної задачі аналітичної факторизації типу Рімана-Гільберта, яке може бути ефективно використано для подальшого дослідження властивостей розв’язку, зокрема, його асимптотики за великим часом.

Розширена анотація: Досліджується задача Коші для інтегровного нелокального нелінійного рівняння Шредінгера (ННШ) \[ iq_{t}(x,t)+q_{xx}(x,t)+2 q^{2}(x,t)\bar{q}(-x,t)=0 \] з початковими даними типу сходинки: припускаэться, що початкова функція $q(x,0)$ э такою, що $q(x,0)=o(1)$, коли $x\to-\infty$, та $q(x,0)=A+o(1)$, коли $x\to\infty$, де $A>0$ -- довільний (фіксований) параметр, що відповідає ненульовому фону сходинки. Починаючи з 2013 року, коли рівняння ННШ було запропоновано як інтегровна модель, воно привертає значну увагу дослідників (як математиків, так і фізиків) у зв’язку з тим, що рівняння ННШ є симетричним у сенсі «парність-час»: воно інваріантне відносно спільного перетворення $x\to-x$, $t\to-t$, та комплексного спряження. Зокрема, рівняння ННШ є калібрувально-еквівалентним до системи пов’язаних рівнянь Ландау-Ліфшиця та, відповідно, може знайти застосування у фізиці штучних наномагнітних матеріалів. Для дослідження задачі Коші для рівняння ННШ, автори розробляють варіант методу оберненої задачі розсіяння у формі методу задачі Рімана-Гільберта. Метод базується на використанні розв’язків Йоста (у тому числі, на ненульовому фоні) для рівнянь відповідної пари Лакса та детальному аналізі їх аналітичних властивостей. У результаті отримано зображення для розв’язку вихідної задачі у термінах розв’язків відповідної задачі аналітичної факторизації типу Рімана-Гільберта. Це зображення має цілий ряд відмінностей від відповідного зображення у випадку класичного (локального) нелінійного рівняння Шредінгера. Зокрема, це стосується сингулярної поведінки у околі нуля спектрального параметра, особливістю якої є те, що ця сингулярність локалізована на контурі спряження для задачі Рімана-Гільберта. Отримане зображення може бути ефективно використано для подальшого дослідження властивостей розв’язків задачі Коші, зокрема, дослідження його асимптотичної поведінки за великим часом.

Ключові слова: нелокальне нелінійне рівняння Шредінгера; метод оберненої задачі розсіяння; розв’язки Йоста; задача Рімана-Гільберта.

Коротка анотація: Розв'язана задача дифракції поля вертикального електричного диполя на спірально провідній сфері у присутності конуса. Методом регуляризації матричного оператора задачі отримано нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду з компактним матричним оператором у гільбертовому просторі $\ell_2$. Розглянуто деякі граничні варіанти постановки задачі.

Розширена анотація: Розв'язана задача дифракції електромагнітного поля вертикального електричного диполя на спірально провідній сфері у присутності ідеально провідного кругового конуса. Центр сфери і вершина конуса розміщено у початку декартової та сферичної систем координат. Диполь розміщений на вісі симетрії сфери і конуса та поза сфери і конуса. Момент диполя орієнтовний вздовж вісі симетрії сфери та конуса. Електричні токи на поверхні сфери, в наслідок спіральної провідності сфери, можуть текти під фіксованим кутом до кожного меридіану. Повні електромагнітні поля повинні задовольняти, зокрема, рівняння Максвела, матеріальні рівняння, умови скінченності енергії у довільному обмеженому об’єму, граничні умови. Для розв’язку задачі будемо використовувати метод часткових областей. В сферичній системі координат використані чотири скалярні електричні і магнітні потенціали Дебая. Потенціали Дебая представлені рядами Фур’е по функціям Бесселя, функціям Ханкеля, а також по функціям Лежандра дробових спектральних параметрів. Граничні умови на поверхні спірально провідної сфери неперервно пов’язують тангенціальні компоненти електричних і магнітних полів. Потрібно для чотирьох потенціалів Дебая знайти коефіцієнти чотирьох рядів Фур’е. Послідовності коефіцієнтів цих рядів шукаємо у Гільбертових просторах зі своєю вагою. Для пошуку коефіцієнтів використовуємо граничні умови та одержуємо чотири функціональні рівняння. Їх прямий розв’язок неефективний. Також не є ефективним застосування у функціональних рівняннях для функцій Лежандра узагальненого інтегрального представлення типа Абеля. У даній роботі для застосування метода регуляризації матричного оператора задачі до кожного з чотирьох рівнянь застосовуємо дискретне перетворення Фур’е. Далі використовуємо рівність визначників Вронського для функцій Бесселя з дробовими індексами. Після лінійних перетворень та застосування зміни порядків підсумування у допоміжних подвійних числових рядах одержуємо нескінченну систему лінійних алгебраічних рівнянь другого роду (НСЛАР-11). В цій системі матричний оператор є компактним у гільбертовому просторі числових послідовностей. Система ефективно розв’язна у просторі аналітично для граничних значень параметрів задачі і чисельно для довільних параметрів. У роботі розглянуто деякі граничні варіанти постановки задач.

Ключові слова: спірально провідна сфера; конус; вертикальний електричний диполь; метод регуляризації; система рівнянь другого роду.

Коротка анотація: Отримано оригінальну схему регуляризації задачі Коші для виродженої системи лінійних різницевих рівнянь.

Розширена анотація: У статті запропоновано оригінальні умови регуляризації, а також схема знаходження розв’язків лінійної задачі Коші для системи різнице\-вих рівнянь, при цьому істотно використано техніку псевдообернення матриць за Муром-Пенроузом. Поставлена в статті задача продовжує дослідження умов регуляризації лінійних нетерових крайових задач, наведених у монографіях М.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматулліної, А.М. Самойленка та О.А. Бойчука. Досліджено загальний випадок, коли лінійний обмежений оператор, відповідний до однорідної частини лінійної задачі Коші, не має оберненого. У статті побудовано узагальнений оператор Гріна та знайдений вигляд лінійного збурення регулярізованої лінійної задачі Коші для системи різницевих рівнянь. Запропоновані умови регуляризації, а також схема знаходження розв'язків лінійної задачі Коші для системи різницевих рівнянь детально проілюстровано на прикладах. На відміну від попередніх статей авторів, задача про регуляризацію лінійної задачі Коші для системи різницевих рівнянь розв’язана конструктивно, причому отримані достатні умови існування розв'язку задачі про регуляризацію.

Ключові слова: регуляризація; задача Коші; лінійні різницеві рівняння; псевдообернена матриця.

Коротка анотація: Для нелінійної системи диференціальних рівнянь вигляду $\dot x=f(x)$ досліджено метод конструювання системи повного рангу $\dot x=f(x)+g(x)u$ для векторних полів класу $C^k$, $1\le k<\infty$, у випадку, коли $f(x)\not=0$. Запропоновано метод конструювання неавтономної системи повного рангу у випадку, коли векторне поле $f(x)$ може обертатися на нуль.

Розширена анотація: У статті розвинено метод конструювання системи повного рангу, який було запропоновано в роботі [Y.~Kawano, \"{U}.~Kotta, C.H.~Moog. Any dynamical system is fully accessible through one single actuator, and related problems, Intern. J. of Robust and Nonlinear Control, -- 2016. -- 8. V.\textbf{26}. -- P. 1748-1754.]. Задача полягає в наступному: для заданого векторного поля $f(x)$ знайти таке векторне поле $g(x)$, що отримана афінна керована система $\dot x=f(x)+g(x)u$ буде повного рангу. У вищевказаній роботі було показано, що таке $g(x)$ існує в околі точки $x$, якщо $f(x)\not=0$, та було запропоновано метод конструювання $g(x)$. Як основний інструмент було застосовано теорему про випрямлення векторного поля; фактично, випрямляючи векторне поле $f(x)$, ми конструюємо лінійну керовану систему. Проте, було розглянуто тільки випадок дійсно аналітичних векторних полів. В даній роботі ми розглядаємо два узагальнення. По-перше, ми вивчаємо дане питання для векторних полів $f(x)\in C^k$, $1\le k<\infty$. Ми показуємо, що запропонований метод можна застосувати, проте векторне поле $g(x)$, взагалі кажучи, буде належати тільки класу $C^{k-1}$. Ми наводимо приклад векторного поля $f(x)\in C^1$, а саме, $f(x)=(0,1/(1+x_1|x_1|))^T$, для якого метод дає недиференційовне (хоча й неперервне) векторне поле $g(x)$. По-друге, ми розглядаємо випадок, коли $f(x)$ обертається на нуль, та описуємо метод конструювання векторного поля $g(t,x)$, яке, взагалі кажучи, є неавтономним, такого, що система $\dot x=f(x)+g(t,x)u$ є повного рангу. Ми застосовуємо теорему про випрямлення векторного поля, але для розширеної системи, в якій час є додатковою координатою. Ми наводимо приклад лінійного векторного поля $f(x)=(0,x_1)^T$ в околі початку координат, в якому отримане векторне поле є автономним, а саме $g(x)=(1,0)^T$. Також ми наводимо приклад нелінійного векторного поля $f(x)=(x_1^2,x_2)^T$ в околі початку координат; відповідне неавтономне векторне поле має вигляд $g(t,x)=( (x_1t+1)^2, te^t)^T$.

Ключові слова: нелінійна керована система; досяжна система; система повного рангу; неавтономна система; теорема про випрямлення векторного поля.

Коротка анотація: Біологічні тканини та їх штучні замінники складаються з різних волокон і мають складні в'язко-пружні властивості. В роботі розглянуті найпопулярніші 3-елементні та 5-елементні реологічні моделі м'яких тканин людини як в'язкопружні тіла, що враховують затримку часу між навантаженням та механічним відгуком матеріалу. Отримані дані порівнювались з експериментальними кривими отриманними на стінкці судин і тканинах серця.

Розширена анотація: Біологічно активні матеріали - це біологічні тканини або штучні матеріали, які можуть виконувати механічну роботу за рахунок хімічних реакцій, конфірмаційних змін, формування мікро - та мезоструктури та реконструкції. Таких матеріалів багато у біологічних організмах, таких як скелетні, гладкі та серцеві м'язи, джгутики та вії в бактеріях, цитоскелет і молекулярні мотори в клітинах.Біологічні тканини та їх штучні замінники складаються з різних волокон і мають складні в'язко-пружні властивості. Відповідність матеріальних параметрів природних та інженерних матеріалів при різних режимах навантаження та релаксації має важливе значення для їх успішної та тривалої роботи. Перша математична модель активного біологічного матеріалу була запропонована А. Хіллом у вигляді гіперболічного зв'язку між напругою (або навантаженням) в м'язі та його активна швидкість стиснення. В роботі розглянуті найпопулярніші 3-елементні та 5-елементні реологічні моделі м'яких тканин людини як в'язкопружні тіла, що враховують затримку часу між навантаженням та механічним відгуком матеріалу. Затримка часу стосується лише активних (живих) біологічних матеріалів. В роботі моделюється активний відгук як додаткова лінійна в'язко-еластична реакція на швидкість деформації та деформації матеріалу. У біологічних тканинах такий відгук забезпечується різними датчиками і, таким чином, моделюється різними затримками часу. Отримані та досліджені рівняння для 3-елементних та 5-елементних моделей без затримки і з затримкою часу, та вивчені для лінійних деформацій при експериментах. Відмінності між моделями описуються в термінах навантаження-релаксація кривих. Отримані дані порівнювались з експериментальними кривими отриманними на стінкці судин і тканинах серця. Краща відповідність була отримана для 5-елементної кривої, яка демонструє дворазову релаксацію, і для моделі з затримкою.

Ключові слова: активні біоматеріали; в'язкопружні рідини; реологія; математичне моделювання.

Коротка анотація: У статті пропонується алгоритм розв’язання двомірної початково-крайової задачі, що виникає при чисельному моделюванні швидко протікаючих процесів термодинаміки, які відбуваються в касеті з декількох тепловиділяючих елементів, а також в колекторах, що примикають до неї. Також представлені результати деяких обчислювальних експериментів, проведених за допомогою авторської програми ПЕВМ.

Розширена анотація: У статті проводиться чисельне моделювання термодинаміки ядерних реакторів на швидких нейтронах з гелієвим теплоносієм і замкнутим паливним циклом (GFR). У рамках Міжнародного форуму реактори подібного типу відносяться до 4-го поколінню GIF - IV (Generation IV International Forum). Використання гелію як теплоносія в реакторах подібного типу дуже перспективно, але зв'язано з великими труднощами, які виникають при реалізації такого проекту, і тому нині на практиці створені лише дослідні зразки подібних реакторів. Автором розглядаються реактори однієї конструкції, для яких видається спосіб чисельного моделювання швидко протікаючих процесів термодинаміки, що виникають в касеті з декількох тепловиділяючих елементів, а також в колекторах, що примикають до неї. У статті пропонується алгоритм рішення виникаючої початково-крайової задачі, а також наводяться результати обчислювальних експериментів, які отримані за допомогою програми ПЕВМ складеною і відлагодженою автором для вирішення цього завдання. Уточнюються деякі особливості програми, обговорюються обчислювальні труднощі програми, що виникають при відладці, і пропонуються методи їх подолання.

Ключові слова: касета тепловиділяючих елементів; розподільний і збірний колектора; гелієвий теплоносій; турбулентні течії; поворотні потоки; аварійна ситуація; траєкторії вільних вихорів.